MATRIKS DASAR PENGERTIAN, JENIS, TRANSPOSE

MATRIKS DASAR PENGERTIAN, JENIS, TRANSPOSE

 

 

 

 

Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.

Sebagai contoh:

Diketahui jumlah penjualan mobil jenis A, B, dan C, dengan harga jual masing-masing 146, 275, dan 528 (dalam juta) pada kota-kota P, Q, R, adalah :

 

JENIS MOBIL HARGA MOBIL (JUTA) JUMLAH PENJUALAN TIAP KOTA (UNIT)
KOTA P KOTA Q KOTA R
A 146 34 56 41
B 275 45 36 37
C 528 51 32 46

Data penjualan mobil tersebut dapat dibuat dalam bentuk matriks sebagai berikut :

  • Matriks harga mobil adalah \begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}
  • Matriks jumlah penjualan adalah \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}

Lebih sederhana bukan?

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:

pengertian dan ordo matriks

  • Banyak baris, m = 3
  • Banyak kolom, n = 3
  • Ordo matriks,  m x n = 3 x 3

Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil:

E = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}

Dimana, e_{12} = 56 adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan  yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut:

E = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}

 

 

Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} atau B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1  4) atau B = (3  7  9) adalah matriks baris

\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix} atau D = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

A = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix} adalah matriks persegi berordo 3, atau

B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} adalah matriks persegi berordo 2.

 

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks a_{ij} = 0 untuk i > j atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks a_{ij} = 0 untuk i < j atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} adalah matriks segitiga atas,

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \\ 4 & 6 & 4 \end{pmatrix} adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks a_{ij} = 0 untuk i \neq j atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} atau B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} atau B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

 

6. Matriks Indentitas

Sudah dijelaskan di atas.

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen a_{ij} sama dengan elemen a_{ji}.

Contoh:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari A_{m x n} adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.

Contoh:

\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} ditranspose menjadi \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}.

Sifat dari transpose matriks: (A^T)^T = A.

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} dan Jika B = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix}, maka agar A = B^T, berapakah nilai c?

Pembahasan:

 

Diketahui bahwa A = B^T

\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2 \\ a & b+7 \end{pmatrix}^T

\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix}

Sehingga didapat 4 persamaan baru dari elemen-elemen matriksnya, yaitu:

  • \frac{1}{2}a = 2c - 3b     (persamaan ke-1)
  • 2 = a     (persamaan ke-2)
  • b = 2a + 1     (persamaan ke-3)
  • \frac{3}{2}c = b + 7     (persamaan ke-4)

Dari persamaan tersebut dapat dilakukan substitusi persamaan untuk memperoleh nilai c, yaitu:

a = 2, maka:

b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5

dan

\frac{3}{2}c = b + 7

c = \frac{2}{3}(b + 7) = \frac{2}{3}(5 + 7) = 8.

Artikel: Pengertian Matriks, Ordo, Jenis, & Transpose Matriks
Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

 

 

 

https://www.studiobelajar.com/matriks-dasar/

Jangan mau ketinggalan zaman manfaatkan teknologi yang ada untuk masa depan yang lebih cerah. Ayo download aplikasinya sekarang juga. Klik Link dibawah ini yaa. 

images
Nah, setelah membaca semua tips yang kami berikan di atas, bagaimana menurut kalian? Mudah-mudahan bermanfaat. Silahkan dishare ke teman-temannya jika ini bermanfaat.
By Admin
21 Des 2020